问e 的负 x 的 2 次方的积分 高斯积分详解

函数是 y=e−x2，这个积分非常关键，不定积分不能用初等函数表示，也就是没有普通的原函数，不能写成多项式 指数 三角函数这类有限组合，但是定积分（高斯积分）可以算出精确数值，这是高数考研高频考点，很多同学踩坑，以为可以换元直接积出来，实际上普通换元 分部积分都得不到初等原函数，必须用二重积分极坐标方法求无穷限定积分。

不定积分：∫e−x2dx=2π​​erf(x)+C

erf (x) 叫做误差函数，属于特殊函数，不是初等函数

最重要高斯定积分：∫−∞+∞​e−x2dx=π​

半区间：∫0+∞​e−x2dx=2π​​

推导过程（无穷定积分 极坐标法）

设 I=∫−∞+∞​e−x2dx

因为积分变量名字可以替换，I=∫−∞+∞​e−y2dy

两式相乘：

I2=∫−∞+∞​∫−∞+∞​e−(x2+y2)dxdy

转换成极坐标，

I2=∫02π​dθ∫0+∞​e−r2⋅rdr

计算内层积分：∫0+∞​re−r2dr=21​

外层 ∫02π​dθ=2π

所以 I2=2π⋅21​=π

I>0，所以 I=π​

拓展变形

∫−∞+∞​e−ax2dx=aπ​​(a>0)

对照表

做题步骤

第一步 看题目是不定积分还是无穷定积分

第二步 如果是不定积分，直接记住结论是误差函数，不要强行分部积分

第三步 如果是正负无穷或者 0 到正无穷定积分，使用二重积分极坐标法计算高斯积分

第四步 如果系数不是 1，是 e−ax2，套用推广公式 π/a​

易错重点

第一 千万不要写原函数是 −2x1​e−x2+C，这个是错误的，分部积分无法消掉后面的积分项

第二 高斯积分是概率论正态分布核心积分，正态分布归一化就是这个结论

第三 误差函数 erf (x) 有专门的数值表，工程和统计经常使用

【常见问题】

问题 1 e 的负 x 的 2 次方的积分 不定积分有没有初等原函数

回答 1 e 的负 x 的 2 次方的积分，不定积分不存在初等原函数，只能用误差函数 erf (x) 表达，不能用普通初等函数写出结果。

问题 2 e 的负 x 的 2 次方的积分 高斯积分正负无穷结果是多少

回答 1 e 的负 x 的 2 次方的积分，无穷区间高斯积分 ∫−∞+∞​e−x2dx=π​，是二重极坐标推导得到的经典结论。

问题 3 e 的负 x 的 2 次方的积分 ∫0+∞​e−x2dx等于多少

回答 1 e 的负 x 的 2 次方的积分，因为函数是偶函数，0 到正无穷是全区间一半，结果等于 2π​​。

【免责申明】

本内容为高等数学微积分知识点讲解，适用于考研 高数课程学习参考。