平面向量的内积也叫数量积，它是两个平面向量运算之后得到一个实数的运算，不是向量。它的核心含义是一个向量的模长，乘以另一个向量在这个向量方向上投影的长度，计算结果是一个数字，没有方向。平面向量的内积是高中向量板块的重点，它可以用来快速求出两个向量的夹角，判断向量是否垂直，还能用来求向量的模长，很多解析几何和三角函数的题目都会用到这个知识点，搞懂它的定义和配套公式，向量相关的计算题就更容易理清思路。
平面向量的内积基础定义
| 项目 | 说明 |
|---|---|
| 名称 | 平面向量内积，又叫数量积 |
| 运算结果 | 实数，不是向量 |
| 符号 | 一般用点来表示，所以也叫点积 |
| 适用范围 | 同一个平面内的两个非零向量 |
假设在平面里面有两个非零向量 a 和向量 b，它们的夹角是 θ，θ 的范围大于等于 0 度小于等于 180 度。
平面向量的内积公式，a 点乘 b 等于 a 的模长乘以 b 的模长再乘以夹角 θ 的余弦值。
如果其中任意一个向量是零向量，那么这两个向量的内积直接等于 0。
坐标形式的平面向量内积公式
如果向量 a 的坐标是 x1 y1，向量 b 的坐标是 x2 y2，那么平面向量的内积可以直接用坐标计算。
a 点乘 b 等于 x1 乘 x2 加上 y1 乘 y2。
这个坐标公式是做题最常用的，不需要去找夹角，直接代入坐标数字就能算出平面向量的内积。
平面向量的内积常用性质
- 当两个向量互相垂直的时候，夹角是 90 度，余弦值等于 0，它们的平面向量内积等于 0。反过来，如果两个非零向量的内积等于 0，就可以判定这两个平面向量垂直。
- 当两个向量同向的时候，夹角是 0 度，余弦值等于 1，平面向量的内积等于两个向量模长相乘。
- 当两个向量反向的时候，夹角是 180 度，余弦值等于负 1，平面向量的内积等于负的两个向量模长相乘。
- 一个向量和自己的内积，等于这个向量模长的平方，利用这个性质可以由向量坐标求模长。
平面向量的内积运算律
- 交换律，a 点乘 b 等于 b 点乘 a
- 数乘结合律，k 倍的 a 点乘 b 等于 k 乘 a 再点乘 b，也等于 a 点乘 k 乘 b
- 分配律，a 点乘括号 b 加 c，等于 a 点乘 b 加上 a 点乘 c
这里要注意，平面向量的内积不满足结合律，不能随便调换括号位置。
基础解题步骤
- 先看题目给出的条件，是给夹角和模长，还是直接给向量坐标。
- 选择对应的公式，给模长和夹角就用定义式，给坐标就用坐标计算公式。
- 算出平面向量的内积这个实数。
- 根据题目要求继续计算夹角或者判断垂直关系。
容易混淆的知识点区分
平面向量的内积和向量的数乘不一样，数乘得到的还是向量，有方向。平面向量的内积算出来是一个数字，没有方向。向量还有一种运算叫向量积，高中阶段一般不学习，不要和平面向量的内积弄混。
【常见问题】
问题 1 平面向量的内积结果是向量吗
回答 1 平面向量的内积结果不是向量，它是一个实数，这也是它被叫做数量积的原因，和向量加法减法得到向量不一样。
问题 2 平面向量的内积等于 0 是不是代表两个向量一定垂直
回答 2 平面向量的内积等于 0 的时候，有可能是两个非零向量互相垂直，也有可能其中一个向量是零向量，零向量不和其他向量定义垂直。
问题 3 计算平面向量的内积优先用哪个公式
回答 3 如果题目直接给出向量坐标，优先使用坐标公式计算平面向量的内积，计算简单不容易出错，知道模长和夹角的时候再使用定义公式。
问题 4 平面向量的内积可以用来做什么
回答 4 平面向量的内积可以用来求两个向量的夹角，判断平面向量是否垂直，计算向量的模长，也可以用来解决几何里面的长度和角度问题。
【免责申明】
本文平面向量的内积内容为高中数学知识点科普，公式和结论适用于平面二维向量，更高维度向量规则会有区别，做题时请仔细审题，核对向量条件。