【曼哈顿距离是什么意思】在数学和计算机科学中，曼哈顿距离是一个重要的概念，常用于衡量两个点之间的距离。它得名于美国纽约市曼哈顿区的街道布局，因为那里的道路多为网格状，行进路线只能沿着街道横向或纵向移动，不能斜向穿行。
曼哈顿距离的核心思想是：两点之间沿坐标轴方向的总距离之和，而不是直线距离（欧几里得距离）。这种距离计算方式在数据挖掘、机器学习、路径规划等领域有广泛应用。
一、曼哈顿距离的定义
对于二维空间中的两个点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，它们的曼哈顿距离可以表示为：
$$
\text{曼哈顿距离} =
$$
这个公式适用于任意维度的空间，只需将各个维度上的差值绝对值相加即可。
二、与欧几里得距离的区别
| 特性 | 曼哈顿距离 | 欧几里得距离 | ||||
| 计算方式 | 各坐标差的绝对值之和 | 各坐标差的平方和的平方根 | ||||
| 表达形式 | $ | x_1 - x_2 | + | y_1 - y_2 | $ | $ \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $ |
| 应用场景 | 网格路径、棋盘移动等 | 直线距离、物理运动等 | ||||
| 运算复杂度 | 较低 | 较高 |
三、实际应用举例
1. 城市交通：如曼哈顿的街区布局，车辆只能沿街道行驶，因此实际行驶距离就是曼哈顿距离。
2. 棋类游戏：如国际象棋中的王后移动（仅限横纵方向），曼哈顿距离可用于判断步数。
3. 机器学习：在K近邻算法中，曼哈顿距离常用于分类和回归任务。
4. 图像处理：在像素匹配中，曼哈顿距离可用于衡量图像相似性。
四、总结
曼哈顿距离是一种基于坐标轴的简单距离计算方法，适用于网格结构或受限路径的场景。相比欧几里得距离，它计算更快、更直观，但在某些情况下可能不如欧几里得距离精确。理解曼哈顿距离有助于在不同应用场景中选择合适的距离度量方式。
| 项目 | 内容 | ||||
| 定义 | 两点在坐标轴上各维度差值的绝对值之和 | ||||
| 公式 | $ | x_1 - x_2 | + | y_1 - y_2 | $ |
| 特点 | 不考虑对角线，只考虑水平和垂直方向 | ||||
| 应用 | 城市交通、棋类游戏、机器学习等 | ||||
| 优点 | 计算简单，适合离散空间 | ||||
| 缺点 | 不适用于需要直线距离的场景 |