【arcsinx求导】在微积分中，反三角函数的导数是学习过程中常见的知识点之一。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是一个基础但重要的内容。本文将对 arcsinx 求导 进行总结，并以表格形式清晰展示其推导过程和结果。
一、arcsinx 的定义
arcsinx 是 sinx 的反函数，其定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]。也就是说：
$$
y = \arcsin x \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin y
$$
二、求导方法
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的求导法则，有：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}
$$
又因为 $ x = \sin y $，所以可以利用三角恒等式：
$$
\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}
$$
因此：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
三、导数公式总结
| 函数 | 导数 |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
四、注意事项
1. 定义域限制：$ \arcsin x $ 的定义域为 $ x \in [-1, 1] $，因此导数只在这个区间内有效。
2. 符号问题：由于 $ \cos y $ 在 $ y \in [-\pi/2, \pi/2] $ 范围内始终为正，所以导数中的根号无需考虑负号。
3. 应用范围：该导数常用于积分、微分方程及物理中的运动学分析。
五、小结
通过反函数求导法，我们得出：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
这是计算与 arcsinx 相关问题时的重要工具，理解其推导过程有助于更深入掌握反三角函数的性质及其应用。