【常见导数公式表】在微积分的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。掌握常见的导数公式对于解题和理解函数性质具有重要意义。本文将总结一些常用的导数公式，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数及其反函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、复合函数的导数法则
1. 链式法则：
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
2. 乘积法则：
若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
3. 商法则：
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
四、高阶导数与特殊函数导数
| 函数表达式 | 一阶导数 | 二阶导数 | 备注 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | 周期性变化 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | 周期性变化 |
| $ f(x) = e^{ax} $ | $ ae^{ax} $ | $ a^2e^{ax} $ | 指数增长或衰减 |
五、小结
导数是数学分析中的核心内容之一，掌握常见的导数公式有助于提高解题效率和理解函数行为。在实际应用中，还需结合导数的几何意义（如切线斜率）和物理意义（如速度、加速度）来加深理解。通过不断练习和总结，可以更加熟练地运用这些公式解决实际问题。
希望本表能够帮助你在学习导数的过程中更高效地掌握相关知识。