【sin135度等于sin45怎么证明】在三角函数的学习中，常常会遇到一些角度之间的关系，例如sin135°与sin45°的大小是否相等。虽然从直观上看，135°是第二象限角，而45°是第一象限角，但它们的正弦值却相等。下面将通过数学原理和公式进行详细说明，并以表格形式总结关键信息。
一、基本概念
- 正弦函数（sin）：在单位圆上，一个角θ的正弦值等于该角终边与单位圆交点的y坐标。
- 象限性质：
- 第一象限（0°~90°）：sinθ > 0
- 第二象限（90°~180°）：sinθ > 0
- 第三象限（180°~270°）：sinθ < 0
- 第四象限（270°~360°）：sinθ < 0
二、利用诱导公式推导
我们知道：
$$
\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta
$$
因此：
$$
\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)
$$
这说明，135°的正弦值等于45°的正弦值。
三、数值验证
我们可以通过计算具体数值来验证这个结论：
| 角度 | 正弦值（近似） |
| 45° | $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$ |
| 135° | $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$ |
可以看出，两者的正弦值完全相同。
四、几何解释
在单位圆中，45°位于第一象限，其终边与x轴夹角为45°，对应的点为 $(\cos45°, \sin45°)$；而135°位于第二象限，其终边与x轴夹角为135°，对应点为 $(\cos135°, \sin135°)$。
由于对称性，两个角的y坐标（即正弦值）是相同的，只是x坐标符号不同，因此：
$$
\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ)
$$
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 角度 | 135° 和 45° |
| 象限 | 135° 在第二象限，45° 在第一象限 |
| 正弦值 | 相等，均为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 公式依据 | $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ |
| 几何解释 | 单位圆对称性导致y坐标相同 |
| 数值验证 | 两者均为约 0.7071 |
通过上述分析可以明确地看出，$\sin135^\circ = \sin45^\circ$ 是成立的，这是由三角函数的周期性和对称性决定的。理解这一关系有助于更深入地掌握三角函数的基本性质。