【二重积分求重心坐标公式】在数学和物理中，计算一个平面图形的重心坐标是一个重要的问题。当图形的密度均匀时，重心即为几何中心。利用二重积分可以精确地计算出任意形状的平面图形的重心坐标。本文将总结二重积分求解重心坐标的公式，并以表格形式展示关键内容。
一、基本概念
- 重心（质心）：物体的质量分布中心，若密度均匀，则重心与形心重合。
- 二重积分：用于计算面积、质量、重心等二维区域的物理量。
二、二重积分求重心坐标的基本公式
设有一个密度均匀的平面图形 $ D $，其边界由曲线围成，且密度为常数 $ \rho $，则该图形的重心坐标 $ (\bar{x}, \bar{y}) $ 可通过以下公式计算：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \iint_{D} x \, dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{A} \iint_{D} y \, dA
$$
其中：
- $ A = \iint_{D} dA $ 是图形 $ D $ 的面积；
- $ x $ 和 $ y $ 是坐标变量；
- $ dA $ 是面积微元。
如果密度不均匀，公式变为：
$$
\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_{D} x \rho(x, y) \, dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_{D} y \rho(x, y) \, dA
$$
其中：
- $ M = \iint_{D} \rho(x, y) \, dA $ 是图形的总质量。
三、常用图形的重心坐标（简表）
| 图形名称 | 面积公式 | 重心坐标 $ (\bar{x}, \bar{y}) $ |
| 矩形 | $ ab $ | $ \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) $ |
| 圆 | $ \pi r^2 $ | $ (0, 0) $（以圆心为原点） |
| 三角形 | $ \frac{1}{2}bh $ | $ \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) $ |
| 半圆形 | $ \frac{1}{2}\pi r^2 $ | $ \left( 0, \frac{4r}{3\pi} \right) $（以直径为x轴） |
| 椭圆 | $ \pi ab $ | $ (0, 0) $（以中心为原点） |
四、应用步骤总结
1. 确定图形区域 $ D $：明确图形的边界条件或函数表达式。
2. 计算面积 $ A $：使用二重积分计算图形的总面积。
3. 计算 $ \bar{x} $ 和 $ \bar{y} $：
- 计算 $ \iint_{D} x \, dA $ 和 $ \iint_{D} y \, dA $；
- 用面积 $ A $ 归一化得到重心坐标。
4. 特殊情况处理：如密度非均匀，需引入密度函数 $ \rho(x, y) $。
五、注意事项
- 若图形对称，可利用对称性简化计算；
- 积分区域的选择应尽量便于计算（如极坐标适用于圆形区域）；
- 对于复杂图形，可能需要分区域积分或使用数值方法近似求解。
六、结语
二重积分是计算平面图形重心坐标的强大工具，尤其适用于不规则形状。掌握其基本公式与应用方法，有助于解决工程、物理和数学中的实际问题。通过合理选择积分方式与坐标系，可以有效提高计算效率和准确性。