【二次函数最值表示】在数学中，二次函数是最常见的函数类型之一，其图像为抛物线。二次函数的最值（即最大值或最小值）是研究其性质的重要内容，通常出现在顶点处。根据开口方向的不同，二次函数的最值可以是最大值或最小值。以下是对二次函数最值的总结与分析。
一、二次函数的基本形式
二次函数的一般形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
其中：
- $ a $ 决定抛物线的开口方向和宽窄；
- $ b $ 和 $ c $ 影响抛物线的位置。
二、二次函数的最值分析
1. 当 $ a > 0 $ 时：
抛物线开口向上，函数有最小值，出现在顶点处。
2. 当 $ a < 0 $ 时：
抛物线开口向下，函数有最大值，同样出现在顶点处。
三、顶点公式
二次函数的顶点坐标可以通过公式求得：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将该值代入原函数，即可得到对应的函数值，即最值。
四、最值的表示方式
| 表达方式 | 说明 |
| 最小值 | 当 $ a > 0 $ 时，函数在顶点处取得最小值 |
| 最大值 | 当 $ a < 0 $ 时，函数在顶点处取得最大值 |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $ |
| 函数值 | 代入顶点横坐标计算得到的纵坐标值 |
五、举例说明
以函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 为例：
- $ a = 1 > 0 $，开口向上，存在最小值；
- 顶点横坐标为 $ x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 $；
- 代入得 $ y = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = -1 $；
- 所以，该函数的最小值为 $ -1 $，出现在点 $ (2, -1) $。
六、总结
二次函数的最值是其图像中的关键点，决定了函数的极值位置。通过顶点公式，我们可以快速找到最值，并根据 $ a $ 的正负判断是最大值还是最小值。掌握这一知识，有助于解决实际问题，如优化问题、物理运动轨迹分析等。
关键词：二次函数、最值、顶点、开口方向、最大值、最小值