【常见函数的求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见函数的求导公式，不仅有助于理解函数的性质，还能在实际问题中快速进行数学建模与计算。以下是对一些常见函数求导公式的总结，便于查阅和学习。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数的求导法则
在实际应用中，很多函数是由多个基本函数组合而成的，因此需要使用链式法则、乘积法则和商法则等进行求导。
1. 链式法则（复合函数）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
y' = u'v + uv'
$$
3. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
三、高阶导数与特殊函数
除了基本导数外，某些特殊函数如三角函数、反三角函数、双曲函数等也有其特定的导数公式。
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 反正弦函数 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反余弦函数 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反正切函数 | $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 双曲正弦函数 | $ f(x) = \sinh x $ | $ f'(x) = \cosh x $ |
| 双曲余弦函数 | $ f(x) = \cosh x $ | $ f'(x) = \sinh x $ |
| 双曲正切函数 | $ f(x) = \tanh x $ | $ f'(x) = \text{sech}^2 x $ |
四、小结
掌握常见函数的求导公式是学习微积分的基础。通过熟练运用这些公式，并结合链式法则、乘积法则和商法则，可以解决大多数初等函数的求导问题。建议在学习过程中多做练习，加深对导数概念的理解，提升解题能力。
希望这份总结能够帮助你更好地理解和应用求导知识。