【部分分式展开】在数学中，尤其是在微积分和信号处理领域，部分分式展开是一种将有理函数分解为多个简单分式的技巧。这种分解有助于简化积分运算、求解微分方程以及进行拉普拉斯变换等操作。部分分式展开的核心思想是将一个复杂的有理函数表示为若干个更简单的分数之和。
一、基本概念
- 有理函数：形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的函数，其中 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 是多项式。
- 真分式：分子的次数低于分母的次数。
- 假分式：分子的次数高于或等于分母的次数，需先进行多项式除法化为真分式。
- 部分分式：将真分式分解为若干个简单分式的组合。
二、部分分式展开的步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确认分子与分母的次数，若为假分式，则先做多项式除法，得到商与余数。 |
| 2 | 对分母进行因式分解，找出所有一次因式和不可约二次因式。 |
| 3 | 根据不同的因式类型，写出相应的部分分式形式。 |
| 4 | 将原式表示为各部分分式的和，并通过待定系数法确定各系数。 |
| 5 | 验证结果是否正确，通常可通过通分后比较分子是否一致。 |
三、常见因式类型的分解形式
| 因式类型 | 分解形式 |
| 一次因式（如 $ (x - a) $） | $ \frac{A}{x - a} $ |
| 重复一次因式（如 $ (x - a)^n $） | $ \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n} $ |
| 不可约二次因式（如 $ x^2 + bx + c $） | $ \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} $ |
| 重复不可约二次因式（如 $ (x^2 + bx + c)^m $） | $ \frac{A_1x + B_1}{x^2 + bx + c} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \frac{A_mx + B_m}{(x^2 + bx + c)^m} $ |
四、示例分析
假设我们有：
$$
\frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 2)}
$$
步骤：
1. 分母已分解为两个一次因式。
2. 设部分分式为：
$$
\frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}
$$
3. 通分并比较分子：
$$
2x + 1 = A(x + 2) + B(x - 1)
$$
4. 展开并整理：
$$
2x + 1 = (A + B)x + (2A - B)
$$
5. 比较系数得：
$$
\begin{cases}
A + B = 2 \\
2A - B = 1
\end{cases}
$$
解得：
$$
A = 1, \quad B = 1
$$
最终结果：
$$
\frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}
$$
五、总结
部分分式展开是处理有理函数的重要工具，尤其在计算积分和变换时非常有用。掌握其基本原理和步骤，能够有效提升数学问题的解决效率。通过合理分解因式并利用待定系数法，可以将复杂表达式转化为易于处理的形式。