【幂指函数求导】在微积分的学习中，幂指函数是一种特殊的函数形式，其表达式为 $ y = u(x)^{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是关于 $ x $ 的函数。这种函数既不是普通的幂函数（如 $ y = x^n $），也不是指数函数（如 $ y = a^{x} $），而是两者的结合，因此它的求导方法也不同于常规的幂函数或指数函数。
为了更清晰地理解幂指函数的求导过程，以下是对该类函数求导方法的总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。
一、幂指函数求导的基本思路
对于函数 $ y = u(x)^{v(x)} $，由于底数和指数都是变量，不能直接使用幂函数或指数函数的求导法则，通常采用对数求导法来处理。
步骤如下：
1. 对两边取自然对数；
2. 利用对数的性质将指数部分转化为乘法；
3. 对两边分别求导；
4. 解出 $ \frac{dy}{dx} $。
二、幂指函数求导公式
设 $ y = u(x)^{v(x)} $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = u(x)^{v(x)} \left[ v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + \ln(u(x)) \cdot v'(x) \right
$$
也可以写成：
$$
\frac{dy}{dx} = u(x)^{v(x)} \left( v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + v'(x) \cdot \ln(u(x)) \right)
$$
三、关键步骤与公式对比表
| 步骤 | 内容 | 公式 |
| 1 | 原函数 | $ y = u(x)^{v(x)} $ |
| 2 | 两边取自然对数 | $ \ln y = v(x) \cdot \ln u(x) $ |
| 3 | 对两边求导 | $ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + \ln u(x) \cdot v'(x) $ |
| 4 | 解出 $ \frac{dy}{dx} $ | $ \frac{dy}{dx} = y \left[ v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + \ln u(x) \cdot v'(x) \right] $ |
| 5 | 代入原函数表达式 | $ \frac{dy}{dx} = u(x)^{v(x)} \left[ v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} + \ln u(x) \cdot v'(x) \right] $ |
四、示例说明
假设 $ y = x^{\sin x} $，求导过程如下：
1. 取对数：$ \ln y = \sin x \cdot \ln x $
2. 求导：$ \frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x} $
3. 解出 $ y' $：
$$
y' = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)
$$
五、总结
幂指函数的求导需要结合对数求导法和乘积法则，其核心在于将指数部分通过对数转换为乘法形式，从而便于求导。掌握这一方法后，可以灵活应对各种幂指函数的求导问题。
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