【二次函数最值公式】在数学中，二次函数是最常见的一类函数，其形式为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $）。由于其图像是抛物线，因此它具有一个最大值或最小值，这个值被称为“最值”。根据二次项系数 $ a $ 的正负，可以判断抛物线的开口方向，从而确定最值是最大值还是最小值。
为了更清晰地展示二次函数的最值计算方法，以下是对该问题的总结，并通过表格形式进行归纳。
一、二次函数最值的基本概念
1. 定义域：通常情况下，二次函数的定义域为全体实数 $ \mathbb{R} $。
2. 最值类型：
- 若 $ a > 0 $，抛物线开口向上，函数有最小值。
- 若 $ a < 0 $，抛物线开口向下，函数有最大值。
3. 顶点：二次函数的最值出现在其顶点处，顶点的横坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
二、最值公式的推导与应用
1. 顶点横坐标公式
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
2. 最值的纵坐标公式
将 $ x = -\frac{b}{2a} $ 代入原函数，可得最值为：
$$
f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a}
$$
3. 结论：
- 当 $ a > 0 $ 时，$ f\left(-\frac{b}{2a}\right) $ 是最小值；
- 当 $ a < 0 $ 时，$ f\left(-\frac{b}{2a}\right) $ 是最大值。
三、总结与对比
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $（$ a \neq 0 $） |
| 最值类型 | 根据 $ a $ 的正负决定：$ a > 0 $ 为最小值，$ a < 0 $ 为最大值 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 最值纵坐标 | $ f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} $ |
| 适用范围 | 全体实数 $ \mathbb{R} $ |
四、实际应用举例
例1：求函数 $ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $ 的最值。
- $ a = 2 > 0 $，故有最小值；
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $；
- 最小值：$ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 $。
例2：求函数 $ f(x) = -x^2 + 6x - 5 $ 的最值。
- $ a = -1 < 0 $，故有最大值；
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3 $；
- 最大值：$ f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4 $。
五、结语
二次函数的最值公式是解决实际问题的重要工具，尤其在优化问题中广泛应用。掌握顶点坐标的计算方法和最值的判断方式，能够帮助我们快速找到函数的最大值或最小值，提高解题效率。
通过上述内容可以看出，二次函数的最值计算并不复杂，只要理解基本原理并熟练运用公式，就能轻松应对相关题目。