【什么是向量的外积】向量的外积，也称为叉积（Cross Product），是向量代数中的一种运算方式，主要应用于三维空间中。它与向量的内积（点积）不同，外积的结果是一个向量，而不是一个标量。外积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛应用。
一、什么是向量的外积？
向量的外积是指两个向量相乘后得到一个新的向量，这个新向量的方向垂直于原来的两个向量所构成的平面，并且其大小等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的外积 a × b 可以通过以下公式计算：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、外积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 结果方向 | 外积结果向量的方向垂直于原两个向量所在的平面，遵循右手法则。 | ||||||
| 2. 大小 | 向量外积的模长等于两个向量所形成平行四边形的面积，即 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。 | |
| 3. 非交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 4. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 5. 线性性 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$，其中 $k$ 为标量 | ||||||
| 6. 零向量情况 | 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
三、外积的应用
- 物理领域：如力矩、磁力等。
- 计算机图形学：用于计算法线向量、旋转轴等。
- 工程力学：分析物体受力方向与作用面的关系。
- 数学建模：用于描述三维空间中的几何关系。
四、外积与内积的区别
| 特征 | 外积 | 内积 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 方向 | 垂直于原向量平面 | 无方向 |
| 计算方式 | 行列式或公式展开 | 各分量相乘再求和 |
| 应用场景 | 法向量、旋转轴 | 角度、投影、距离 |
通过以上内容可以看出，向量的外积是一种重要的向量运算，具有明确的几何意义和广泛的实际应用。理解它的定义、性质和用途，有助于更好地掌握三维空间中的向量关系。