【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，其计算结果可以通过三角恒等式进行推导。与常见的30°、45°、60°等角度不同，75°并不是一个标准角度，但它可以表示为两个已知角度的和，即75° = 45° + 30°。通过使用正切的加法公式，我们可以精确地求出tan75°的值，并以保留根号的形式表达。
正切加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
将A = 45°，B = 30°代入，得到：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $\tan 45^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入计算：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}
$$
为了消除分母中的根号，我们可以对分子和分母同时乘以$\sqrt{3}$：
$$
= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
再对分母有理化：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
因此，最终结果为：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
总结与表格展示：
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $2 + \sqrt{3}$ |
通过上述推导可以看出，tan75°的精确值可以表示为$2 + \sqrt{3}$，这一形式不仅简洁，而且保留了根号，符合题目的要求。在实际应用中，这个值可用于几何计算、物理问题以及工程分析等领域。