问两个空间向量叉乘公式

【两个空间向量叉乘公式】在三维几何中，向量的叉乘（也称为向量积）是一个非常重要的运算，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。叉乘的结果是一个与原向量垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形面积。

一、基本概念

设两个空间向量为：

$$

\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle, \quad \vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle

$$

它们的叉乘记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个向量，其方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面，大小为：

$$

$$

其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

二、叉乘公式

叉乘的计算公式如下：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1 \rangle

$$

也可以用行列式的方式表示：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

三、叉乘性质总结

四、实际应用举例

假设 $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$，$\vec{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle$，则：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

因此，$\vec{a} \times \vec{b} = \langle -3, 6, -3 \rangle$

五、小结

两个空间向量的叉乘是三维空间中一种重要的向量运算，它不仅能够求出一个与原向量垂直的新向量，还能够用于计算面积、判断方向等。掌握其公式和性质有助于更好地理解和应用向量在现实问题中的作用。