【范德蒙德行列式公式】范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）是线性代数中一个重要的行列式公式，广泛应用于多项式插值、组合数学以及数值分析等领域。该行列式的形式简洁，但其计算结果具有明确的表达式，便于理解和应用。
一、范德蒙德行列式的定义
范德蒙德行列式是一个由不同变量组成的方阵的行列式，形式如下：
$$
V = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
其中 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是互不相同的变量。
二、范德蒙德行列式的计算公式
范德蒙德行列式的值为：
$$
V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
$$
这个公式表示所有 $x_j - x_i$ 的乘积，其中 $j > i$。
三、范德蒙德行列式的性质总结
| 特性 | 描述 |
| 行列式结构 | 每一行依次为 $1, x_i, x_i^2, \ldots, x_i^{n-1}$ |
| 变量要求 | 所有 $x_i$ 必须互不相同，否则行列式为0 |
| 计算方式 | 直接使用乘积公式 $V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$ |
| 应用领域 | 多项式插值、唯一性证明、矩阵构造等 |
| 对称性 | 行列式对变量的排列具有反对称性 |
四、实例说明
例如，当 $n = 3$ 时，范德蒙德行列式为：
$$
V = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2
\end{vmatrix}
= (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)
$$
这表明，只要三个变量互不相等，行列式就非零。
五、总结
范德蒙德行列式是线性代数中一个经典而实用的工具，其结构简单却蕴含丰富的数学意义。通过直接计算或利用其乘积公式，可以快速求得行列式的值。在实际应用中，它常用于判断多项式是否唯一、构造插值多项式等场景。
掌握范德蒙德行列式的性质和计算方法，有助于更深入地理解矩阵与多项式之间的关系。