【如何证明垂径定理】垂径定理是圆的几何中一个重要的定理，它揭示了圆中弦与直径之间的关系。掌握这一定理的证明过程，有助于理解圆的对称性和相关性质。
一、垂径定理
垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
简要概括如下：
- 条件：一条直径垂直于一条弦。
- 结论：
- 直径平分该弦；
- 直径平分该弦所对的弧。
二、垂径定理的证明步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 设圆O为已知圆，AB为圆O中的一条弦，CD为过圆心O的直径，且CD⊥AB于点E。 |
| 2 | 连接OA、OB、OC、OD（即连接圆心到弦的两个端点及直径的两个端点）。 |
| 3 | 因为CD⊥AB，所以∠AEC = ∠BEC = 90°。 |
| 4 | 在△OEA和△OEB中，有： - OA = OB（圆的半径） - OE = OE（公共边） - ∠AEO = ∠BEO = 90° 所以△OEA ≌ △OEB（直角三角形全等判定——HL） |
| 5 | 由全等三角形可知：AE = BE，即直径CD平分弦AB。 |
| 6 | 又因为OA = OB，且AE = BE，所以△OAE ≌ △OBE，因此弧AC = 弧BC，即直径CD平分弦AB所对的弧。 |
三、总结
垂径定理是圆中非常基础且重要的定理之一，其证明过程主要依赖于全等三角形的性质和圆的基本定义。通过构造辅助线、利用对称性以及全等三角形的判定方法，可以清晰地展示出直径如何在垂直于弦的情况下起到平分作用。
四、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 垂径定理 |
| 条件 | 一条直径垂直于一条弦 |
| 结论1 | 直径平分该弦 |
| 结论2 | 直径平分该弦所对的弧 |
| 证明方法 | 全等三角形（HL判定法） |
| 关键辅助线 | 连接圆心与弦的两端点 |
| 核心逻辑 | 利用对称性与全等三角形证明平分关系 |
通过以上分析和证明过程，我们可以更深入地理解垂径定理的几何意义及其应用价值。