【三点共面空间向量公式】在三维几何中，判断三个点是否共面是一个常见的问题。三点共面是指这三个点所在的平面与原点构成的平面重合或位于同一平面上。判断三点是否共面，可以通过向量运算的方法进行验证，其中最常用的是利用向量的混合积（也称三重积）来判断。
一、基本概念
设空间中有三个点 A、B、C，我们可以构造两个向量：
- 向量 AB = B - A
- 向量 AC = C - A
如果这三个点 A、B、C 共面，则由这两个向量所张成的平行四边形所在的平面，就是包含这三个点的平面。换句话说，这三个点所在的平面可以由向量 AB 和 AC 确定。
二、三点共面的判定方法
判定条件：
若三点 A、B、C 共面，则向量 AB、AC 与任意向量（如从 A 出发的任意向量）的混合积为零。
混合积公式：
$$
\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = 0
$$
其中 D 是任意一点，通常取原点 O 或另一个点，但一般情况下我们只需使用 AB 和 AC 的叉乘再与 AB 或 AC 点乘即可判断。
三、具体步骤
1. 设点 A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)
2. 计算向量 AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
3. 计算向量 AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
4. 计算 AB × AC（即 AB 和 AC 的叉积）
5. 计算 AB · (AB × AC) 或者 AC · (AB × AC)（结果应为 0）
若结果为 0，则三点共面；否则不共面。
四、总结表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 设定三点 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃) |
| 2 | 计算向量 AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) |
| 3 | 计算向量 AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) |
| 4 | 计算 AB × AC（叉积） |
| 5 | 计算 AB · (AB × AC) 或 AC · (AB × AC) |
| 6 | 若结果为 0 → 三点共面；否则不共面 |
五、结论
三点共面的空间向量公式主要依赖于向量的混合积是否为零。通过计算两个向量的叉积后再与第三个向量点乘，可以快速判断三点是否共面。这种方法在计算机图形学、工程力学和数学建模中应用广泛，是空间几何分析的重要工具之一。