【高等数学同济第七版下册课后答案】《高等数学（同济大学第七版）》是全国高校广泛采用的一本经典教材，尤其在工科类专业中应用非常广泛。该书内容涵盖多元函数微积分、重积分、曲线与曲面积分、无穷级数、常微分方程等重要知识点。为了帮助学生更好地理解和掌握这些内容，本文将对下册的课后习题进行简要总结，并以表格形式展示部分典型题目的答案。
一、章节概览
| 章节 | 内容主题 | 主要知识点 |
| 第八章 | 多元函数微分法及其应用 | 偏导数、全微分、方向导数、梯度、极值与最值 |
| 第九章 | 重积分 | 二重积分、三重积分、换元积分法 |
| 第十章 | 曲线积分与曲面积分 | 第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分 |
| 第十一章 | 无穷级数 | 数项级数、幂级数、泰勒级数、傅里叶级数 |
| 第十二章 | 微分方程 | 一阶微分方程、可降阶的高阶微分方程、线性微分方程 |
二、典型题目与答案示例
以下是一些典型题目的解答示例，便于学生参考和复习。
1. 第八章：偏导数与全微分
题目：设 $ z = x^2 \sin y + y \cos x $，求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $。
解答：
- $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y - y \sin x $
- $ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y + \cos x $
2. 第九章：二重积分
题目：计算 $ \iint_D (x + y) \, dx dy $，其中 $ D $ 是由 $ y = x^2 $ 和 $ y = 2x $ 所围成的区域。
解答：
先求交点：解方程 $ x^2 = 2x $，得 $ x = 0 $ 或 $ x = 2 $。
积分区域为 $ x \in [0, 2] $，$ y \in [x^2, 2x] $。
$$
\iint_D (x + y) \, dx dy = \int_0^2 \int_{x^2}^{2x} (x + y) \, dy dx = \frac{8}{3}
$$
3. 第十章：曲线积分
题目：计算曲线积分 $ \int_C x^2 \, ds $，其中 $ C $ 是从 $ (0, 0) $ 到 $ (1, 1) $ 的直线段。
解答：
参数化曲线：$ x = t $，$ y = t $，$ t \in [0, 1] $
则 $ ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{2} dt $
$$
\int_C x^2 \, ds = \int_0^1 t^2 \cdot \sqrt{2} \, dt = \frac{\sqrt{2}}{3}
$$
4. 第十一章：幂级数
题目：求幂级数 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ 的收敛域及和函数。
解答：
该级数为 $ e^x $ 的泰勒展开式，收敛域为 $ (-\infty, +\infty) $，和函数为 $ e^x $。
5. 第十二章：微分方程
题目：解微分方程 $ y' + y = e^{-x} $，初始条件 $ y(0) = 1 $。
解答：
这是一个一阶线性微分方程，使用积分因子法：
$$
\mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^x
$$
两边乘以 $ e^x $：
$$
e^x y' + e^x y = 1 \Rightarrow \frac{d}{dx}(e^x y) = 1
$$
积分得：
$$
e^x y = x + C \Rightarrow y = e^{-x}(x + C)
$$
代入初始条件 $ y(0) = 1 $，得 $ C = 1 $，故解为：
$$
y = e^{-x}(x + 1)
$$
三、总结
《高等数学（同济大学第七版）》下册内容系统全面，逻辑严谨，适合工科学生深入学习。通过练习课后习题，不仅可以巩固基础知识，还能提升解题能力。本文整理了部分典型题目的解答，希望能为学习者提供一定的参考和帮助。
如需更多题目的详细解答或解析，建议结合教材配套的习题解答手册或在线资源进行深入学习。