【三角函数公式大全】在数学学习中，三角函数是基础且重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式和性质，不仅有助于解题，还能提升对数学规律的理解。本文将系统总结常见的三角函数公式，并以表格形式清晰呈现，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则有：
| 函数名称 | 定义式 | 对应关系 |
| 正弦 | sinα = y | 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cosα = x | 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tanα = y/x | 对边 / 邻边 |
| 余切 | cotα = x/y | 邻边 / 对边 |
| 正割 | secα = 1/x | 斜边 / 邻边 |
| 余割 | cscα = 1/y | 斜边 / 对边 |
二、三角函数的基本关系
| 关系类型 | 公式 |
| 倒数关系 | sinα · cscα = 1 cosα · secα = 1 tanα · cotα = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα cotα = cosα / sinα |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 1 + tan²α = sec²α 1 + cot²α = csc²α |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| α + 2πk | sin(α + 2πk) = sinα cos(α + 2πk) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦和差 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦倍角 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦半角 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] |
七、积化和差公式
| 公式类型 | 公式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式类型 | 公式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
九、特殊角的三角函数值
| 角度α（弧度） | sinα | cosα | tanα |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
十、三角函数图像与性质
| 函数名称 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| sinα | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 |
| cosα | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 |
| tanα | α ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 |
| cotα | α ≠ kπ | R | π | 奇函数 |
通过以上整理，我们可以更清晰地了解三角函数的基本概念、公式及其应用。熟练掌握这些公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。建议结合实际题目进行练习，加深理解与记忆。