问幂级数展开式常用公式

【幂级数展开式常用公式】在数学分析中，幂级数是一种非常重要的工具，广泛应用于函数的近似计算、微分方程求解以及各种工程和物理问题中。幂级数展开是将一个函数表示为无限项的多项式形式，便于进行数值计算和理论分析。以下是一些常见的函数的幂级数展开式，以加表格的形式呈现。

一、常见函数的幂级数展开式

1. 指数函数 $ e^x $

展开式：

$$

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$

收敛域：$ (-\infty, +\infty) $

2. 自然对数函数 $ \ln(1+x) $

展开式：

$$

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

$$

收敛域：$ -1 < x \leq 1 $

3. 正弦函数 $ \sin x $

展开式：

$$

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

$$

收敛域：$ (-\infty, +\infty) $

4. 余弦函数 $ \cos x $

展开式：

$$

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

$$

收敛域：$ (-\infty, +\infty) $

5. 反正切函数 $ \arctan x $

展开式：

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

$$

收敛域：$ -1 \leq x \leq 1 $

6. 二项式展开 $ (1+x)^k $（其中 $ k $ 为任意实数）

展开式：

$$

(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n

$$

其中 $ \binom{k}{n} = \frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!} $

收敛域：$ x < 1 $

二、常用幂级数展开式汇总表

三、小结

幂级数展开式是分析函数性质、进行数值计算的重要手段。上述公式涵盖了常见的初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数及二项式展开等。掌握这些展开式不仅有助于理解函数的局部行为，还能在实际应用中提供有效的近似方法。对于不同的应用场景，选择合适的展开式能够提高计算效率与精度。