问幂级数的收敛半径及收敛域怎么求得

【幂级数的收敛半径及收敛域怎么求得】在数学分析中，幂级数是研究函数展开和逼近的重要工具。掌握幂级数的收敛半径与收敛域，对于理解其性质和应用具有重要意义。本文将总结常见的方法，并通过表格形式清晰展示。

一、收敛半径的求法

幂级数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中 $a_n$ 是系数，$x_0$ 是中心点。我们通常关注的是该级数在哪些 $x$ 值范围内收敛。

1. 比值法（达朗贝尔判别法）

若 $\lim_{n \to \infty} \left \frac{a_{n+1}}{a_n} \right = L$ 存在，则收敛半径为：

$$

R = \frac{1}{L}

$$

- 若 $L = 0$，则 $R = +\infty$

- 若 $L = +\infty$，则 $R = 0$

2. 根值法（柯西判别法）

若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ 存在，则收敛半径为：

$$

R = \frac{1}{L}

$$

同样适用于 $L = 0$ 或 $L = +\infty$ 的情况。

3. 直接代入法（用于边界点）

当 $x = x_0 + R$ 或 $x = x_0 - R$ 时，需要单独判断级数是否收敛，这一步常用于确定收敛域。

二、收敛域的确定

收敛域是指使得幂级数收敛的所有 $x$ 值的集合。它通常是一个区间，可能包含或不包含端点。

收敛域的一般形式为：

$$

(x_0 - R, x_0 + R) \quad \text{或} \quad [x_0 - R, x_0 + R] \quad \text{等

$$

具体取决于在 $x = x_0 \pm R$ 处的收敛性。

三、总结表格

四、举例说明

以幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n!}$ 为例：

- 使用比值法：$\lim_{n \to \infty} \left \frac{a_{n+1}}{a_n} \right = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$，故 $R = +\infty$

- 收敛域为全体实数，即 $(-\infty, +\infty)$

五、结语

幂级数的收敛半径和收敛域是研究其收敛性的重要指标。通过比值法或根值法可以快速求出收敛半径，而收敛域则需结合边界点的判断。掌握这些方法，有助于深入理解幂级数的性质及其在数学中的应用。