【卷积计算公式】在深度学习和信号处理中，卷积是一种非常重要的数学运算。它广泛应用于图像识别、语音处理、自然语言处理等领域。卷积的核心思想是通过一个称为“卷积核”或“滤波器”的小矩阵，与输入数据进行逐点相乘并求和，从而提取特征。
为了帮助读者更好地理解卷积的计算过程，本文将对卷积的基本公式进行总结，并以表格形式展示其具体步骤。
一、卷积的基本定义
假设有一个输入张量 $ I $ 和一个卷积核 $ K $，它们的大小分别为 $ H \times W $ 和 $ F \times F $（通常为奇数，如3×3、5×5等）。卷积操作的结果是一个输出张量 $ O $，其大小由以下公式决定：
$$
O_{\text{height}} = \frac{H - F + 2P}{S} + 1 \\
O_{\text{width}} = \frac{W - F + 2P}{S} + 1
$$
其中：
- $ H $：输入的高度
- $ W $：输入的宽度
- $ F $：卷积核的尺寸
- $ P $：填充（padding）的大小
- $ S $：步长（stride）
二、卷积计算步骤
以下是卷积计算的主要步骤，适用于单通道输入和单通道输出的情况：
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将卷积核 $ K $ 放置在输入张量 $ I $ 的左上角位置 |
| 2 | 对卷积核与输入区域进行逐元素相乘 |
| 3 | 将所有乘积结果相加，得到一个数值 |
| 4 | 将该数值作为输出张量的一个元素 |
| 5 | 移动卷积核，按照设定的步长 $ S $ 向右/向下移动 |
| 6 | 重复步骤1~5，直到覆盖整个输入区域 |
三、卷积公式示例
假设输入为一个 5×5 的矩阵，卷积核为 3×3 的矩阵，无填充（$ P=0 $），步长为1（$ S=1 $）。
输入矩阵 $ I $:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\end{bmatrix}
$$
卷积核 $ K $:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 \\
\end{bmatrix}
$$
计算第一个输出值（位于左上角）：
$$
(1×1) + (2×0) + (3×-1) + (6×1) + (7×0) + (8×-1) + (11×1) + (12×0) + (13×-1) = 1 + 0 -3 + 6 + 0 -8 + 11 + 0 -13 = 4
$$
四、总结
卷积是一种通过滑动窗口与输入数据进行局部计算的运算方式。它的核心在于通过不同的卷积核提取不同层次的特征。掌握卷积的计算公式和步骤，有助于更深入地理解神经网络中的特征提取机制。
表格总结
| 项目 | 内容 |
| 卷积公式 | $ O_{i,j} = \sum_{x=0}^{F-1} \sum_{y=0}^{F-1} I_{i+x, j+y} \cdot K_{x,y} $ |
| 输入大小 | $ H \times W $ |
| 卷积核大小 | $ F \times F $ |
| 输出大小 | $ \left(\frac{H - F + 2P}{S} + 1\right) \times \left(\frac{W - F + 2P}{S} + 1\right) $ |
| 常见参数 | $ P=0 $ 或 $ P=1 $，$ S=1 $ 或 $ S=2 $ |
| 计算方式 | 局部相乘求和，滑动窗口逐步推进 |
通过以上内容，可以系统性地了解卷积的基本原理和计算流程，为进一步学习深度学习模型打下坚实基础。