【焦点在y轴的椭圆的焦半径公式是什么】在解析几何中，椭圆是一个常见的二次曲线。根据椭圆的焦点位置不同，其标准方程和相关性质也会有所变化。当椭圆的两个焦点位于y轴上时，椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)
$$
其中，$ a $ 是长轴的一半，$ b $ 是短轴的一半，而焦点位于y轴上，坐标分别为 $ (0, c) $ 和 $ (0, -c) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
在这样的椭圆中，焦半径指的是椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离。由于椭圆具有对称性，焦半径的计算公式可以根据点的位置进行分类。
焦半径公式总结
| 点的位置 | 公式（到上焦点 $ (0, c) $） | 公式（到下焦点 $ (0, -c) $） |
| 任意点 $ (x, y) $ | $ r_1 = a - e y $ | $ r_2 = a + e y $ |
| 上顶点 $ (0, a) $ | $ r_1 = a - e a = a(1 - e) $ | $ r_2 = a + e a = a(1 + e) $ |
| 下顶点 $ (0, -a) $ | $ r_1 = a - e (-a) = a(1 + e) $ | $ r_2 = a + e (-a) = a(1 - e) $ |
| 左顶点 $ (-b, 0) $ | $ r_1 = a $ | $ r_2 = a $ |
> 说明：
> - $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} $ 是椭圆的离心率。
> - 对于焦点在y轴上的椭圆，焦半径与纵坐标 $ y $ 成正比，且焦半径之和恒等于 $ 2a $。
注意事项
- 焦半径公式适用于所有在椭圆上的点，但需要根据点所在的象限选择合适的表达式。
- 在实际应用中，若已知椭圆的参数 $ a $、$ b $ 或 $ c $，可以代入公式快速计算某一点的焦半径。
- 此类公式常用于天体轨道计算、光学反射问题等实际场景中。
通过以上表格和公式，可以清晰地了解焦点在y轴上的椭圆的焦半径计算方法，便于进一步应用和理解椭圆的几何特性。