【数学建模层次分析法的题】在数学建模中，层次分析法（AHP，Analytic Hierarchy Process）是一种常用的多准则决策方法，广泛应用于评价、排序和选择等复杂问题。它通过将问题分解为多个层次结构，利用成对比较的方式确定各因素之间的相对重要性，进而计算出各方案的综合权重，从而得出最优解。
以下是一道典型的层次分析法题目及其解答过程总结。
一、题目背景
某高校计划评选“优秀学生干部”，候选人有甲、乙、丙三人。评选标准包括：学习成绩（S）、工作能力（W）、群众基础（F）。要求使用层次分析法进行综合评价，并选出最佳人选。
二、步骤总结
1. 建立层次结构模型
- 最高层：目标层（评选优秀学生干部）
- 中间层：准则层（学习成绩、工作能力、群众基础）
- 最底层：方案层（甲、乙、丙）
2. 构造判断矩阵（成对比较）
对每个准则层中的因素进行两两比较，构建判断矩阵，使用1-9标度法表示相对重要性。
3. 计算各判断矩阵的权重向量
通过归一化处理和特征向量法或几何平均法求得各因素的权重。
4. 一致性检验
计算一致性比率（CR），若 CR < 0.1，则认为判断矩阵具有满意的一致性。
5. 综合权重计算
将各准则层的权重与方案层的权重相乘，得到各候选人的总得分。
6. 结果排序与决策
根据总得分排序，确定最优人选。
三、示例数据与计算表格
表1：准则层判断矩阵（关于学习成绩、工作能力、群众基础）
| 学习成绩 | 工作能力 | 群众基础 | |
| 学习成绩 | 1 | 3 | 5 |
| 工作能力 | 1/3 | 1 | 3 |
| 群众基础 | 1/5 | 1/3 | 1 |
计算权重：
- 归一化后得到权重向量：[0.62, 0.25, 0.13
- 一致性比率 CR = 0.08（符合要求）
表2：方案层判断矩阵（针对每个准则下的候选人）
学习成绩：
| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 甲 | 1 | 2 | 4 |
| 乙 | 1/2 | 1 | 3 |
| 丙 | 1/4 | 1/3 | 1 |
权重向量： [0.57, 0.29, 0.14
工作能力：
| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 甲 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 乙 | 2 | 1 | 1/2 |
| 丙 | 3 | 2 | 1 |
权重向量： [0.14, 0.29, 0.57
群众基础：
| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 甲 | 1 | 3 | 5 |
| 乙 | 1/3 | 1 | 3 |
| 丙 | 1/5 | 1/3 | 1 |
权重向量： [0.62, 0.25, 0.13
表3：综合得分计算表
| 候选人 | 学习成绩得分 | 工作能力得分 | 群众基础得分 | 总得分 |
| 甲 | 0.57 × 0.62 | 0.14 × 0.25 | 0.62 × 0.13 | 0.47 |
| 乙 | 0.29 × 0.62 | 0.29 × 0.25 | 0.25 × 0.13 | 0.29 |
| 丙 | 0.14 × 0.62 | 0.57 × 0.25 | 0.13 × 0.13 | 0.24 |
四、结论
根据层次分析法计算结果，候选人甲的总得分为0.47，乙为0.29，丙为0.24，因此甲是最佳人选。
五、注意事项
- 层次结构应合理划分，避免层级过多或过少。
- 判断矩阵的构造需结合实际经验，尽量减少主观偏差。
- 一致性检验是确保结果可信的重要步骤。
- 多次重复计算可提高结果的稳定性。
通过以上步骤与表格展示，可以清晰地理解层次分析法在数学建模中的应用过程与结果分析方式。